MAA9 Integraalilaskenta

Integraalifunktio

Funktio \(F\) on funktion \(f\) integraalifunktio, jos \(F'(x)=f(x)\). Tällöin merkitään \(F(x)=\int f(x)dx \).

Olkoon funktio $$f(x)=\int^{2x}_x \sqrt{3t^2+1} dt.$$ Määritä funktion derivaatta ja tutki, onko funktiolla ääriarvoja.

Olkoon \(G(t)=\int\sqrt{3t^2+1}dt\), jolloin \(G'(t)=\sqrt{3t^2+1}\). Lisäksi \(f(x)=G(2x)-G(x)\), ja yhdistetyn funktion derivoimissäännön mukaan nyt \(f'(x)=2G'(2x)-G'(x)=2 \sqrt{12x^2+1}- \sqrt{3x^2+1} > 0\) kaikilla \(x\). Funktiolla ei siten ole ääriarvoja, vaan se on aidosti kasvava.

Määrätty integraali