MAA4 Vektorit

1. Ratkaise yhtälöpari
$$ \begin{cases}
12x+3y=5 \\
4x+8y=7
\end{cases}.
$$

Ratkaistaan y ensimmäisestä yhtälöstä.

$$12x+3y=5$$

$$3y=5-12x$$

$$y=\frac{5}{3}-4x$$

Sijoitetaan y jälkimmäiseen yhtälöön ja ratkaistaan siitä x.
$$4x+8y=7$$

$$4x+8(\frac{5}{3}-4x)=7$$

$$4x+\frac{40}{3}-32x=7$$

$$28x=\frac{40}{3}-\frac{21}{3}=\frac{19}{3}$$

$$x=\frac{19}{84}$$

Sijoitetaan x y:n yhtälöön.

$$y=\frac{5}{3}-4x=\frac{5}{3}-4\cdot \frac{19}{84}=\frac{140}{84}-\frac{76}{84}=\frac{64}{84}=\frac{16}{21}$$

Vastaus: \(x=\frac{19}{84}\), \(y=\frac{16}{21}\)

2. Jaa vektori \(4\vec{a}+7\vec{b}\) vektoreiden \(\vec{b}\) ja \(\vec{a}+\vec{b}\) suuntaisiin komponentteihin.

Selvitetään, millä luvuilla r ja s \(4\vec{a}+7\vec{b}=r\vec{b}+s(\vec{a}+\vec{b})\).

$$4\vec{a}+7\vec{b}=r\vec{b}+s(\vec{a}+\vec{b})$$

$$4\vec{a}+7\vec{b}=r\vec{b}+s\vec{a}+s\vec{b}$$

$$4\vec{a}+7\vec{b}=s\vec{a}+(r+s)\vec{b}$$

Komponenttiesityksen yksikäsitteisyyden nojalla

$$ \begin{cases}
s=4 \\
r+s=7
\end{cases}
$$

$$r=7-s=7-4=3$$

Saadaan

$$4\vec{a}+7\vec{b}=3\vec{b}+4(\vec{a}+\vec{b})$$

Vastaus: \(4\vec{a}+7\vec{b}=3\vec{b}+4(\vec{a}+\vec{b})\)

3. Määritä vakio c niin, että vektorin \(\vec{u}=8\vec{i}-21c\vec{j}\) pituus on 41.

Vektorin \(\vec{u}\) pituus:

$$|\vec{u}|=\sqrt{8^2+(-21c)^2}=\sqrt{64+441c^2}$$

$$\sqrt{64+441c^2}=41$$

$$64+441c^2=41^2$$

$$441c^2=1681-64=1617$$

$$c^2=\frac{1617}{441}=\frac{11}{3}$$

$$c=\pm \sqrt{\frac{11}{3}}=\pm \sqrt{\frac{33}{9}}=\pm \frac{\sqrt{33}}{3}$$

Vastaus: \(c=-\frac{\sqrt{33}}{3}\) tai \(c=\frac{\sqrt{33}}{3}\)

4. Määritä vakio c niin, että vektori \(\vec{a}=2c\vec{i}+\sqrt{6}\vec{j}\) on kaksi kertaa pidempi kuin vektori \(\vec{b}=4c\vec{i}+9c\vec{j}\).

Tulee olla \(|\vec{a}|=2|\vec{b}|\).

$$|\vec{a}|=2|\vec{b}|$$

$$\sqrt{(2c)^2+(\sqrt{6})^2}=2\sqrt{(4c)^2+(9c)^2}$$

$$\sqrt{4c^2+6}=2\sqrt{16c^2+81c^2}$$

$$4c^2+6=4(16c^2+81c^2)$$

$$4c^2+6=4 \cdot 97c^2$$

$$4c^2+6=388c^2$$

$$384c^2=6$$

$$c^2=\frac{6}{384}=\frac{1}{64}$$

$$c= \pm \sqrt{\frac{1}{64}}= \pm \frac{1}{8}$$

Vastaus: \(c=-\frac{1}{8}\) tai \(c=\frac{1}{8}\)