MAA3 Geometria

1. Kuinka suuret ovat tasakylkisen kolmion kulmat, jos kolmion huippukulman ja kantakulman suhde on 7:4?

Merkitään huippukulmaa \(7x\) ja kantakulmaa \(4x\).

Saadaan

$$7x+2 \cdot 4x=180°$$

$$15x=180°$$

$$x=\frac{180°}{15}=12°$$

Huippukulma on \(7x=7 \cdot 12°=84°\), ja kaksi muuta kulmaa, jotka ovat kantakulmia, ovat \(4 \cdot 12°=48°\).

Vastaus: 48°, 48° ja 84°

2. Pallojen säteet ovat 5 \(cm\) ja 20 \(cm\). Kuinka monta prosenttia jälkimmäisen pallon tilavuus on suurempi kuin ensimmäisen?

Suuremman pallon tilavuus: \(V_s\)

Pienemmän pallon tilavuus: \(V_p\)

Tilavuuksien suhde on säteiden suhteen kuutio.

$$\frac{V_s}{V_p}=(\frac{20}{5})^3=4^3=64$$

$$\frac{V_s-V_p}{V_p}=\frac{V_s}{V_p}-1=64-1=63=6300 \%$$

Vastaus: \(6300 \%\)

3. Kuinka moninkertaiset mitat tarvitaan, jotta kappaleen pinta-ala kahdeksankertaistuu?

Merkitään alkuperäistä kappaletta alaindeksillä 1 ja suurennosta alaindeksillä 2.

Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö.

$$\frac{A_2}{A_1}=k^2=(\frac{x_2}{x_1})^2$$

Tulee olla \(A_2=8A_1\).

$$(\frac{x_2}{x_1})^2=\frac{8A_1}{A_1}=8$$

$${x_2}^2=8{x_1}^2$$

$$x_2=\sqrt{8}x_1=2\sqrt{2}x_1$$

Mittojen täytyy siis olla \(2\sqrt{2}\)-kertaiset.

Vastaus: \(2\sqrt{2}\)-kertaiset

4. Tasasivuisen kolmion sivun pituus on 4. Laske kolmion pinta-ala.

Kolmion kanta: \(a=4\)

Kolmion korkeus saadaan Pythagoraan lauseella.

$$4^2=h^2+(\frac{4}{2})^2$$

$$h^2=16-4$$

$$h=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$$

Lasketaan pinta-ala.

$$A=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$$

Vastaus: \(4\sqrt{3}\)

(Koska tiedetään, että tasasivuisessa kolmiossa kaikkien kulmien suuruus on 60°, pinta-ala voidaan myös laskea näin:

$$A=\frac{1}{2}ab \sin\gamma=\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot sin 60°=4\sqrt{3})$$

5. Mikä on tasasivuisen kolmion yhden sivun pituus, jos sen pinta-ala on \(36\sqrt{3}\)?

Sivun pituus: a

Tasasivuisen kolmion yksittäisen kulman suuruus: \(\gamma=60°\)

$$A=\frac{1}{2}aa \sin\gamma=\frac{1}{2}a^2 \sin\gamma$$

$$a^2=\frac{2A}{\sin\gamma}$$

$$a=\sqrt{\frac{2A}{\sin\gamma}}=\sqrt{\frac{2 \cdot 36\sqrt{3}}{\sin60°}}=12$$

Vastaus: 12

6. Kolmion sivut ovat pituuksiltaan 2, 5 ja 6. Määritä kolmion pienin kulma asteen tarkkuudella.

Kolmion pienin kulma on lyhimmän sivun (pituudeltaan 2) vastainen kulma.

Kosinilauseella:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$$

$$2ab\cos\gamma=a^2+b^2-c^2$$

$$\cos\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{5^2+6^2-2^2}{2 \cdot 5 \cdot 6}=\frac{19}{20}$$

$$\gamma=18,19487…°≈18°$$

Vastaus: 18°

7. Kolmiossa kahden sivun pituudet ovat 8,7 \(cm\) ja 11,3 \(cm\), ja niiden välinen kulma on 48°. Mikä on kolmion kolmannen sivun pituus?

Kosinilauseella:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$$

$$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}$$

$$=\sqrt{8,7^2+11,3^2-2 \cdot 8,7 \cdot 11,3 \cdot \cos48°}=8,47440…≈8,5$$

Vastaus: 8,5 \(cm\)

8. Kolmion kaksi kulmaa ovat 37° ja 61°. Ensimmäisen kulman vastainen sivu on 18,2 \(cm\). Laske kolmion muiden sivujen pituudet.

Sinilauseella jälkimmäisen kulman vastainen sivu:

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}$$

$$b=\frac{a\sin\beta}{\sin\alpha}=\frac{18,2 \cdot \sin61°}{\sin37°}=26,4501…≈26,5$$

Kolmas kulma: \(\gamma=180°-37°-61°=82°\)

Sinilauseella kolmas sivu:

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{c}{\sin\gamma}$$

$$c=\frac{a\sin\gamma}{\sin\alpha}=\frac{18,2 \cdot \sin82°}{\sin37°}=29,9475…≈29,9$$

Vastaus: 26,5 \(cm\) ja 29,9 \(cm\)

9. Suoran ympyrälieriön pohjan säde on 5,4 \(cm\) ja vaipan pinta-ala on 307 \(cm^2\). Mikä on lieriön tilavuus?

Ratkaistaan lieriön korkeus vaipan pinta-alasta.

$$A_v=2 \pi rh$$

$$h=\frac{A_v}{2 \pi r}$$

Pohjan pinta-ala:

$$A_p=\pi r^2$$

Lieriön tilavuus:

$$V=A_ph=\pi r^2\frac{A_v}{2 \pi r}=\frac{rA_v}{2}=\frac{5,4 \cdot 307}{2}=828,9≈830$$

Vastaus: 830 \(cm^3\)

10. Suoran ympyräkartion pohjan piiri on 33,5 \(cm\) ja sen korkeus on 88 \(mm\). Mikä on kartion tilavuus?

$$88 mm = 8,8 cm$$

Pohjan säde saadaan ympyrän piirin kaavasta.

$$p=2 \pi r$$

$$r=\frac{p}{2 \pi}$$

Pohjan pinta-ala:

$$A_p=\pi r^2$$

Kartion tilavuus:

$$V=\frac{1}{3}A_ph=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi (\frac{p}{2 \pi})^2h=\frac{1}{3}\pi \frac{p^2}{4 \pi^2}h$$

$$=\frac{p^2h}{12 \pi}=\frac{33,5^2 \cdot 8,8}{12 \pi}=261,9637…≈260$$

Vastaus: 260 \(cm^3\)