MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt

1. Sievennä \(\frac{\sqrt{32}}{8}+\frac{\sqrt{50}}{10}\).

$$\frac{\sqrt{32}}{8}+\frac{\sqrt{50}}{10}=\frac{\sqrt{2 \cdot 16}}{8}+\frac{\sqrt{2 \cdot 25}}{10}=\frac{4\sqrt{2}}{8}+\frac{5\sqrt{2}}{10}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$$

Vastaus: \(\sqrt{2}\)

2. Ratkaise epäyhtälö \(4x^2+3>7x\).

$$4x^2+3>7x$$

$$4x^2-7x+3>0$$

Nollakohdat:

$$4x^2-7x+3=0$$

$$x=\frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2-4 \cdot 4 \cdot 3}}{2 \cdot 4}=\frac{7 \pm \sqrt{49-48}}{8}=\frac{7 \pm 1}{8}$$

\(x=\frac{7-1}{8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\) tai \(x=\frac{7+1}{8}=1\)

Lausekkeen \(4x^2-7x+3\) kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten \(4x^2-7x+3>0\), kun \(x<\frac{3}{4}\) tai \(x>1\).

Vastaus: \(x<\frac{3}{4}\) tai \(x>1\)

3. Osoita, että funktio \(f(x)=x^2+2x+3\) saa vain positiivisia arvoja.

Lasketaan funktion nollakohdat.

$$f(x)=0$$

$$x^2+2x+3=0$$

Diskriminantti: \(D=2^2-4 \cdot 1 \cdot 3=-8<0\).

Koska \(D<0\), yhtälöllä ei ole ratkaisuja eli funktiolla ei ole nollakohtia.

Koska funktio on polynomifunktiona jatkuva kaikkialla, se voi saada vain yhdenmerkkisiä arvoja.

Kokeilemalla havaitaan

$$f(0)=3>0$$

Funktion täytyy siis saada pelkästään positiivisia arvoja.

4. Millä vakion a arvolla yhtälöllä \(2x^2+3x=a\) on kaksoisjuuri?

$$2x^2+3x=a$$

$$2x^2+3x-a=0$$

Yhtälöllä on kaksoisjuuri, jos diskriminantti \(D=0\).

$$D=3^2-4 \cdot 2 \cdot (-a)=0$$

$$9+8a=0$$

$$a=-\frac{9}{8}$$

Vastaus: \(a=-\frac{9}{8}\)

5. Määritä vakiolle b sellainen arvo, että polynomilla \(x^2+2x+b\) on tekijä \(x-4\).

Polynomilla on tekijä \(x-4\), jos sillä on nollakohta \(x=4\).

Tulee olla

$$4^2+2 \cdot 4+b=0$$

$$b=-16-8$$

$$b=-24$$

Vastaus: \(b=-24\)

6. Millä \(x\):n arvoilla funktio \(f(x)=\sqrt{x^2-8x}-\sqrt{2x^2+x}\) on määritelty?

Funktio on määritelty, kun neliöjuuren alla olevat lausekkeet ovat epänegatiivisia.

Tulee olla \(x^2-8x \geq 0\) ja \(2x^2+x \geq 0\).

Ensimmäisen polynomin nollakohdat:

$$x^2-8x=0$$

$$x(x-8)=0$$

$$x=0$$ tai $$x=8$$

Polynomin kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten \(x^2-8x \geq 0\) toteutuu, kun \(x \leq 0\) tai \(x \geq 8\).

Toisen polynomin nollakohdat:

$$2x^2+x=0$$

$$x(2x+1)=0$$

$$x=0$$ tai $$2x=-1$$

$$x=-\frac{1}{2}$$

Polynomin kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten \(2x^2+x \geq 0\) toteutuu, kun \(x \leq -\frac{1}{2}\) tai \(x \geq 0\).

Yhdistämällä ehdot saadaan, että funktio on määritelty, kun \(x \leq -\frac{1}{2}\) tai \(x \geq 8\).

Vastaus: \(x \leq -\frac{1}{2}\) tai \(x \geq 8\)

7. Supista murtolauseke \(\frac{2x^2-9x+4}{4x^2-1}\).

$$\frac{2x^2-9x+4}{4x^2-1}=\frac{2x^2-x-8x+4}{(2x)^2-1^2}=\frac{x(2x-1)-4(2x-1)}{(2x+1)(2x-1)}$$

$$=\frac{(2x-1)(x-4)}{(2x+1)(2x-1)}=\frac{x-4}{2x+1}$$

Vastaus: \(\frac{x-4}{2x+1}\)

8. Millä vakion t arvoilla funktiolla \(f(x)=3x^2+tx-4+t\) on kaksi nollakohtaa?

Funktiolla on kaksi nollakohtaa eli yhtälöllä \(3x^2+tx-4+t=0\) on kaksi ratkaisua, kun diskriminantti \(D>0\).

$$D=t^2-4 \cdot 3 \cdot (-4+t)=t^2-12(-4+t)=t^2-12t+48$$

Nollakohdat:

$$D=0$$

$$t^2-12t+48=0$$

$$t=\frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2-4 \cdot 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}=\frac{12 \pm \sqrt{-48}}{2}$$

Ei ratkaisua.

Diskriminantti on siis samanmerkkinen kaikilla t:n arvoilla, koska polynomifunktiot ovat kaikkialla jatkuvia.

Selvitetään merkki testaamalla, kun \(t=0\).

$$D=0^2-12 \cdot 0+48=48>0$$

Diskriminantti on siis aina positiivinen eli funktiolla \(f(x)\) on kaksi nollakohtaa kaikilla t:n arvoilla.

Vastaus: Kaikilla t:n arvoilla

9. Millä vakion c arvoilla yhtälöllä \(5x^2+x-4=cx+3x^2-7\) on vain yksi ratkaisu?

$$5x^2+x-4=cx+3x^2-7$$

$$2x^2+(1-c)x+3=0$$

Yhtälöllä on vain yksi ratkaisu, kun diskriminantti \(D=0\).

$$D=(1-c)^2-4 \cdot 2 \cdot 3=c^2-2c+1-24=c^2-2c-23=0$$

$$c=\frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot (-23)}}{2 \cdot 1}$$

$$c=\frac{2 \pm \sqrt{4+92}}{2}$$

$$=\frac{2 \pm \sqrt{6 \cdot 16}}{2}$$

$$=\frac{2 \pm 4\sqrt{6}}{2}=1 \pm 2\sqrt{6}$$

Vastaus: \(c=1-2\sqrt{6}\) tai \(c=1+2\sqrt{6}\)

10. Ratkaise kaksoisepäyhtälö \(1 \leq x^2-4x+1 \leq 2\).

Tulee olla \(x^2-4x+1 \geq 1\) ja \(x^2-4x+1 \leq 2\).

Ratkaistaan ensimmäinen epäyhtälö.

$$x^2-4x+1 \geq 1$$

$$x^2-4x \geq 0$$

Nollakohdat:

$$x^2-4x=0$$

$$x(x-4)=0$$

$$x=0$$ tai $$x=4$$

Polynomin kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten \(x^2-4x \geq 0\), kun \(x \leq 0\) tai \(x \geq 4\).

Ratkaistaan toinen epäyhtälö.

$$x^2-4x+1 \leq 2$$

$$x^2-4x-1 \leq 0$$

Nollakohdat:

$$x^2-4x-1=0$$

$$x=\frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1}$$

$$=\frac{4 \pm \sqrt{20}}{2}=\frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2}=2 \pm \sqrt{5}$$

Polynomin kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten \(x^2-4x-1 \leq 0\), kun \(2-\sqrt{5} \leq x \leq 2+\sqrt{5}\).

Yhdistämällä ehdot saadaan \(2-\sqrt{5} \leq x \leq 0\) tai \(4 \leq x \leq 2+\sqrt{5}\).

Vastaus: \(2-\sqrt{5} \leq x \leq 0\) tai \(4 \leq x \leq 2+\sqrt{5}\)