1. Ratkaise yhtälö \(3(4x+2)=4(2-2x)\).
$$3(4x+2)=4(2-2x)$$
$$12x+6=8-8x$$
$$20x=2$$
$$x=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$$
Vastaus: \(x=\frac{1}{10}\)
2. Laske \(0,2^{2000} \cdot 5^{2002}\).
$$0,2^{2000} \cdot 5^{2002}$$
$$=0,2^{2000} \cdot 5^{2000} \cdot 5^2$$
$$=(0,2 \cdot 5)^{2000} \cdot 5^2$$
$$=1 \cdot 25$$
$$=25$$
Vastaus: 25
3. Kumpi luvuista \(3^{4000}\) ja \(5^{2000}\) on suurempi?
Muokataan luvut muotoon, josta huomataan, kumpi on suurempi.
\(3^{4000}=3^{4 \cdot 1000}=(3^4)^{1000}=81^{1000}\)
\(5^{2000}=5^{2 \cdot 1000}=(5^2)^{1000}=25^{1000}<81^{1000}\)
Vastaus: \(3^{4000}\) on suurempi.
4. Laske \(\frac{2^{21} \cdot 4^6}{8^{10}}\).
\(\frac{2^{21} \cdot 4^6}{8^{10}}=\frac{2^{21} \cdot (2^2)^6}{(2^3)^{10}}=\frac{2^{21} \cdot 2^{2 \cdot 6}}{2^{3 \cdot 10}}=2^{21+12-30}=2^3=8\)
Vastaus: 8
5. Ratkaise yhtälö \(16^{x+2}=32^x\).
$$16^{x+2}=32^x$$
$$(2^4)^{x+2}=(2^5)^x$$
$$2^{4(x+2)}=2^{5x}$$
$$4(x+2)=5x$$
$$4x+8=5x$$
$$x=8$$
Vastaus: \(x=8\)
6. Onko luku 8 lukujonon \(a_n=46-4n, n=1, 2, 3,…,\) jäsen?
Sijoitetaan \(a_n=8\) ja ratkaistaan \(n\).
$$8=46-4n$$
$$4n=38$$
$$n=\frac{38}{4}=9,5$$
Koska mikään positiivinen kokonaisluku n ei anna lukujonolle arvoa 8, se ei ole lukujonon jäsen.
Vastaus: Ei ole
7. Kuinka moni lukujonon \(a_n = 8 – 4n, n = 1, 2, 3,…,\) jäsenistä on suurempi kuin -500?
Lasketaan, millä positiivisilla kokonaisluvuilla n \(a_n>-500\).
$$a_n>-500$$
$$8-4n>-500$$
$$4n<508$$
$$n<\frac{508}{4}=127$$
Siis ensimmäiset 126 jäsentä ovat suurempia kuin -500.
Vastaus: 126
8. Aritmeettisen jonon kaksi jäsentä ovat \(a_1=4\) ja \(a_8=32\). Määritä jonon yleinen jäsen.
Jonon yleinen jäsen on muotoa \(a_n=a_1+(n-1) \cdot d\).
Sijoitetaan \(a_1=4\).
$$a_n=4+(n-1) \cdot d$$
Sijoitetaan \(n=8\) ja \(a_8=32\) ja selvitetään differenssi \(d\).
$$32=4+(8-1) \cdot d$$
$$7 \cdot d=28$$
$$d=\frac{28}{7}=4$$
Saadaan siis jonon yleiseksi jäseneksi \(a_n=4+(n-1) \cdot 4\).
Vastaus: \(a_n=4+(n-1) \cdot 4\)
9. Geometrisen jonon toinen jäsen \(a_2=6\) ja kolmas jäsen \(a_3=18\). Mikä on jonon kuudes jäsen?
Lasketaan jonon suhdeluku.
$$q=\frac{a_3}{a_2}=\frac{18}{6}=3$$
Jonon kuudes jäsen saadaan, kun kerrotaan jonon kolmas jäsen suhdeluvulla \(6-3=3\) kertaa.
$$a_6=a_3 \cdot q^3=18 \cdot 3^3=18 \cdot 27=486$$
Vastaus: \(a_6=486\)
10. Geometrisen jonon suhdeluku on 2 ja kahdeksan ensimmäisen termin summa 102. Mikä on jonon viides jäsen?
Geometrisen jonon summa saadaan kaavalla
$$S_n=a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}.$$
Sijoitetaan tähän \(q=2\), \(n=8\) ja \(S_8=102\) ja selvitetään \(a_1\):n arvo.
$$102=a_1 \cdot \frac{1-2^8}{1-2}$$
$$102=a_1 \cdot \frac{1-256}{-1}$$
$$102=a_1 \cdot 255$$
$$a_1=\frac{102}{255}=\frac{2}{5}$$
Selvitetään jonon yleisen jäsenen lauseke.
$$a_n=a_1 \cdot q^{n-1}=\frac{2}{5} \cdot 2^{n-1}$$
Lasketaan jonon viides jäsen.
$$a_5=\frac{2}{5} \cdot 2^{5-1}=\frac{2}{5} \cdot 16=\frac{32}{5}$$
Vastaus: \(a_5=\frac{32}{5}\)